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摘要：數(shù)學課題探究教學是指，在教師指導下，圍繞某一課題，運用探究的方法主動獲取數(shù)學知識，獨立、自主地解決數(shù)學問題，培養(yǎng)科學精神和創(chuàng)造性思維與能力的一種實踐活動。它具有內(nèi)容的開放性和方法的多樣性等特點。其內(nèi)容主要有數(shù)學基本概念和規(guī)律、數(shù)學中的綜合問題、現(xiàn)實中的數(shù)學問題以及科學前沿中的數(shù)學問題等。數(shù)學課題探究教學包括教師示范指導和誘導、學生探究、師生共探三個基本環(huán)節(jié)。關(guān)鍵詞：數(shù)學課題；探究教學Abstract:Inquiryteachingofmathematicsresearchtopicsisakindofpracticalactivity,inwhichstudentsconductresearchaboutonetopicundertheguidanceofteacherssoastogainknowledgeactively,dealwithmathematicsproblemsindependently,cultivatescientificspiritandcreativethinkingandabilityaswell.Ithasthecharacteristicsofopennessincontentsanddiversityinmethods.Itscontentscontainmathematicsbasicconceptsandregulations,theintegratedproblemsofmathematicsandmathematicalproblemsinthereality,themathematicalproblemsinthefrontierofscienceandsoon.Theinquiryteachingofmathematicsresearchtopicsinvolvesteachers’guidanceandinduction,students’inquiryandtheinquiryofteacherstogetherwithstudents.Keywords:mathematicsresearchtopics；inquiryteaching在新課程條件下，隨著“探究教學”的提出與實施，傳統(tǒng)的數(shù)學教育面臨著諸多挑戰(zhàn)。廣大一線教師對如何開展課題探究教學存在著一些困惑。本文對數(shù)學教學中的課題探究進行初步探討，以期對數(shù)學課程的實施有所裨益。一、開展數(shù)學課題探究教學的必要性當今衡量一個人學習能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知識，而在于他探索、研究、創(chuàng)造能力的高低。因此，在數(shù)學教育中，培養(yǎng)學生的探究、創(chuàng)新能力和實踐能力，成為教育的重要價值取向。研究表明，課題探究教學更有利于培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識，不失為一種有效的教學方式。傳統(tǒng)數(shù)學教育過于注重升學率的提高，大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，將所有的知識點精選之后，一一灌輸給學生。學生為題所困，已無暇顧及系統(tǒng)知識的學習，更不用說形成問題解決的能力了?！痘A教育課程改革綱要（試行）》（2001年）明確提出，要“改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生的主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。[1]因此，在數(shù)學教學中，可以課題探究教學為紐帶，在傳授系統(tǒng)知識的同時，注重學科的基本結(jié)構(gòu)、知識間的內(nèi)在、邏輯聯(lián)系，從而使學生對本學科有一個全局、整體的認識，進而形成一種積極、能動地解決問題的能力，不失為一種好的方法。事實上，課題探究教學是數(shù)學教育發(fā)展的必然要求。這主要表現(xiàn)在：1.隨著數(shù)學新課程的改革與實施，新的數(shù)學課程在課程設計、課程目標、課程實施等方面對教師和學生都提出了更高的要求。與傳統(tǒng)的數(shù)學課程相比，新課程適應當今科學發(fā)展分化與綜合的趨勢，將“既重結(jié)果又重過程”的理念滲透其中，如在課程的實施方面，注重學生的探究過程、學習過程。2.“數(shù)學為大眾”這一發(fā)展特點，對教師提出了新的要求。1983年，德國數(shù)學家達米洛夫首次提出“大眾數(shù)學”這一口號，這標志著數(shù)學教育不能只為少數(shù)尖子，而讓多數(shù)人去陪少數(shù)人，數(shù)學教育應面向大眾。1984年，在澳大利亞舉行的第五屆國際數(shù)學教育大會設立了“為大眾的數(shù)學”專題討論組，并確定它為數(shù)學教育的主要問題之一。在此背景下，數(shù)學教學中教師需更多地考慮每一個學生未來發(fā)展的需要，但也要注意到：這絕不是降低要求，而是要使人人都受到高水平的數(shù)學教育。這就要求充分發(fā)揮每一個學生的積極性，激勵他們自主學習，主動地去探索和研究。3.數(shù)學知識應用和科學技術(shù)的發(fā)展推動了數(shù)學教學的改革。傳統(tǒng)數(shù)學過分強調(diào)數(shù)學抽象結(jié)構(gòu)的“新數(shù)”運動，只注意數(shù)學本身的特點和結(jié)構(gòu)，而忽視了數(shù)學的發(fā)展和科學技術(shù)發(fā)展的需要，從而使數(shù)學的價值受到學生的懷疑。這促使人們?nèi)ニ伎?，去探索?shù)學教學中的深層次問題：數(shù)學教學不只要傳授數(shù)學知識，更為重要的是，要教會學生如何思維。所以，“問題解決”以及“探究教學”的提出不僅成為20世紀80年代數(shù)學教育的口號和中心，而且直到現(xiàn)在，還是數(shù)學教學研究的熱點問題之一。二、數(shù)學課題探究教學的內(nèi)涵與特征（一）數(shù)學課題探究教學的內(nèi)涵作為一種在教師指導下，以學生自主探究為主的教與學的方式，探究教學由來已久。它的思想淵源可追溯到孔子和蘇格拉底的教學思想中。而明確把“探究學習”作為一種教學方式的則是美國生物學家、課程專家、芝加哥大學教授施瓦布。他認為探究教學是指這樣一種教學活動：兒童通過自主地參與知識的獲得過程，掌握研究自然所必需的探究能力，同時形成認識自然的基礎──科學概念，進而培養(yǎng)探索世界的積極態(tài)度。我國學者也有類似的定義，如“所謂探究教學，就是為兒童提供真實的問題情境，讓兒童通過探究事物、現(xiàn)象和觀點而自主地獲得科學知識并形成探究技能和態(tài)度的過程”，[2]“探究教學是指在教師指導下學生運用探究的方法進行學習，主動獲取知識，發(fā)展能力的實踐活動”，[3]以及“探究教學是指學生在教師的指導下，以類似科學研究的方式去獲取知識和運用知識的學習方式”，等等。盡管對于探究教學的涵義，不同的人有不同的看法，但都包含兩個方面的要義：一是必須有教師的指導──教師提供必要的專業(yè)引領(lǐng)，使學生在探究中有明確的方向；二是以學生的“學”或“探究”為主──學生自主去思考、探究，而不是被教師直接引向問題的答案。數(shù)學課題探究教學則是在教師指導下，圍繞某一課題，學生運用探究的方法主動獲取知識，發(fā)展能力的實踐活動。其目的是讓學生在學習數(shù)學知識的同時，掌握知識間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，從而對本學科有一個全面、系統(tǒng)的理解，培養(yǎng)科學精神和態(tài)度，逐步形成獨立、能動地解決數(shù)學問題的能力。（二）數(shù)學課題探究教學的特征數(shù)學課題探究教學作為一種以課題為紐帶的探究教學，不僅具備一般探究教學的內(nèi)涵和特點（共性），同時還有自身的特點（個性）。1.各學科課題探究教學的共性（1）面向全體學生，提高科學素養(yǎng)。探究教學的根本目的不在于把少數(shù)學生培養(yǎng)成為尖子和精英，而是面向全體學生，使每一個學生都成為有科學素養(yǎng)的公民?？茖W素養(yǎng)包括科學知識、科學方法、科學態(tài)度、科學精神。探究教學就是要求學生自己動手去做，自己動腦去思考。學生在參與探究的過程中既學習了科學知識，又養(yǎng)成了主動、積極的科學態(tài)度和科學精神。這樣，在探究教學中，逐漸發(fā)展學生的觀察能力、建立假設的能力、推理和預測的能力，從而提高科學研究的能力。（2）結(jié)果與過程并重。傳統(tǒng)教學特別注意結(jié)果，在很大程度上忽視了知識獲得的過程。探究數(shù)學則注重知識獲得的過程，把學習方法和思維的訓練放在首位。（3）重視學以致用。探究教學尤其注重發(fā)展學生運用科學知識解決實際問題的能力。美國教育心理學家加涅把學習分為8個層次，其中最后3個層次分別是：①概念學習，即通過概念來了解事物的本質(zhì)；②規(guī)則學習，即懂得概念與概念之間的聯(lián)系；③問題解決學習，即運用概念和規(guī)則來解決問題。探究教學非常注重這后3個層次的學習，尤其是問題解決。這是它與一般的知識、技能學習的根本區(qū)別之一。與一般的掌握知識、解答問題的學習活動相比，它更符合人們的生活和社會的實際需要，因而有利于提高學生學以致用的本領(lǐng)。（4）學生獨自學習為主。在探究教學中，教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的知識傳授者和管理者，而是學生進行探究學習的促進者和合作者。作為促進者，教師的主要任務是把握正確的探究方向，激勵學生勇于探索和創(chuàng)造的動機，引導學生進行探究。當然，教師要根據(jù)每個學生的特點進行不同的指導和引導。而作為合作者，教師要自覺地把自己當做學習團體中的一員，與學生一起共同學習、探索和討論。學生作為具有創(chuàng)造能力的學習社會中的主體，教師應充分信任他們，相信他們在一定程度上有能力進行自主地探索和研究。因此，探究教學非常注重培養(yǎng)學生的主體意識，充分發(fā)揮他們的主動性和積極性，把探索和研究深入下去。（5）注重發(fā)展性評價。傳統(tǒng)教學評價注重標準化測試。這種評價方式過分強調(diào)學習和思維方式的統(tǒng)一性，壓抑了個性，不利于學生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。而探究教學則強調(diào)評價的開放性與多元化，即更注重發(fā)展性評價。它在評價的方式和評價的標準上都是開放的、多元的。它既重視正式評價，也注重非正式評價，如小組評價、小組互評、學生自評等。在評價標準上，考慮到學生的個體差異，則采用多層次的評價標準，從而使評價標準具有彈性化、人性化的特征。2.數(shù)學課題探究教學的個性（1）數(shù)學課題的開放性。課題的開放性要求教師不應把學習內(nèi)容限制在某些方面，只要與數(shù)學有關(guān)，學生力所能及的，都可以成為課題探究的內(nèi)容。同時教師也不要因為學生提出的課題“不夠水平”或“不夠深刻”而去干涉他們。實際上，數(shù)學史上許多有重大意義的問題開始并不為人們所理解。因此，教師應積極鼓勵和肯定學生的問題意識和創(chuàng)新精神，不要讓這些思想一開始便被扼殺在搖籃里。（2）數(shù)學課題探究方法的多樣性。作為一門基礎學科，數(shù)學課題探究教學尤其注重學生的數(shù)學思維方式。思維方式不同，探究的方法也就不同。常見的方法主要有：數(shù)學演繹與歸納法、數(shù)學分析與綜合法、數(shù)學化歸方法、數(shù)學公理化方法等等。演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的推理方法。演繹推理的重要形式是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理。這在中學數(shù)學中可大量使用。因此，在課題探究中要加強這種演繹方式的訓練。歸納推理則是由個別的命題推出一般性命題的推理方法。一般根據(jù)概括對象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某一類事物的全體對象作出概括的推理方法，如數(shù)學上的窮舉法?？傊瑪?shù)學課題探究教學在解決問題的同時，加強了學生思維能力的訓練，這樣又有利于學生提出新的課題，進而進行新的探究學習，從而形成良性循環(huán)。（3）數(shù)學課題探究需要進行抽象。與其他學科相比，數(shù)學課題探究的抽象程度更高一些。例如，數(shù)學模型就是通過對原型的模擬或抽象而得來的，它是一種形式化和符號化的模型。在數(shù)學課題探究教學中，很多數(shù)學課題源于現(xiàn)實生活，而大多數(shù)學生通常在進行純粹的數(shù)學計算、變換和推演時可能感到困難不大，可一接觸到現(xiàn)實中有待解決的數(shù)學問題，往往束手無策。不少學生感到所學的概念、公式、定理等與實際問題對不上號。這時，教師需要引導學生對實際問題進行抽象，去掉一些無關(guān)緊要的枝節(jié)問題，把問題的本質(zhì)突出出來，從而利用已學過的概念、公式、定理、方法來解決問題。

三、數(shù)學課題探究教學內(nèi)容的選擇與其他學科一樣，數(shù)學課題探究教學的內(nèi)容十分豐富。歸納起來，可以從以下四個方面考慮。（一）數(shù)學基本概念和規(guī)律數(shù)學中的基本概念和規(guī)律既是探究教學的起點和基礎，又是探究的對象。在教與學中，教師如果在基本概念和規(guī)律的學習過程中滲透探究思想，就會使學生加深對概念和規(guī)律的理解與掌握。例如，在學習圓的定義時，教師可先引導學生觀察實際生活中與圓有關(guān)的物體的特征：自行車的鋼圈和小飛輪、臺扇的外殼。通過測量中心到圓周的距離（忽略誤差），學生會發(fā)現(xiàn)圓的一個顯著特征：圓周上的點到圓心的距離處處相等。這時教師就可以引導學生歸納得出圓的定義了。（二）數(shù)學中的綜合問題相對于知識點比較單一的問題而言，綜合性問題更有利于學生去探索和研究，也更有利于培養(yǎng)學生的敏銳洞察力和思維能力。例如，“要證明AB=CD，∠1=∠2,△ABC∽△DEF,AB∥CD……有哪些方法，可用哪些定理？”對于這類問題的回答，就要求突破教材的結(jié)構(gòu)，重新以問題為線索建構(gòu)知識體系。這樣，學生頭腦中的認識結(jié)構(gòu)就會變得更加適合于擴散性思維，也更有利于學生問題解決能力的提高。[4]（三）現(xiàn)實中的數(shù)學問題現(xiàn)實生活中的數(shù)學問題可謂無處不在。數(shù)學就是從生活中的這些實際問題開始的。中國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，都是為解決生產(chǎn)和生活中的問題凝結(jié)成的成果。當今時代，生產(chǎn)和生活中同樣有許多問題可成為數(shù)學探究教學的對象。例如，電話費的計費方式如何用函數(shù)來表示，銀行儲蓄的稅后利息的計算，球隊的比賽場次計算，等等。在教學中對這些問題的探究可激發(fā)學生的興趣，有利于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力和應用數(shù)學知識解決問題的能力。（四）學科前沿中的數(shù)學問題選取一些與學科前沿有關(guān)的內(nèi)容作為探究的方向，可擴大學生的知識面，開闊學生的視野。如選取哥尼斯堡七橋問題、計算機中的二進制問題、模糊數(shù)學的有關(guān)問題等。四、數(shù)學課題探究教學的基本環(huán)節(jié)探究是科學的本質(zhì)特征之一，沒有探究就不會有發(fā)現(xiàn)。作為中學生，一般不可能達到真正意義的探究，因而實施課題探究的重心就在于誘導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。當前有不少師生認為開展課題探究是課堂之外的事情，其實這是一種誤解。事實上，在課堂教學中，同樣可以開展課題探究。數(shù)學課題探究教學的關(guān)鍵在于讓學生獨立自主地學習，強調(diào)個人獨立學習活動，教師加以引導，師生共同探究教學規(guī)律、原理。其基本教學程序可以總結(jié)如下：1.創(chuàng)設情境，提出課題；2.引出假設或猜想；3.實驗探究，驗證、論證；4.歸納結(jié)論，應用提高。數(shù)學課題探究教學過程就是在教師有目的、有組織的指導下，學生主動發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。這里舉一個簡單例子加以說明。首先創(chuàng)設情境：；；。然后提出課題：自然數(shù)從1連續(xù)加到100或更進一步加到數(shù)等于多少？接著過渡到第二步，學生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進行假設或猜想：；。然后激勵學生探究為什么。通過觀察，學生會發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，55+56=101，其中共有個101。因此推導出上面的結(jié)果。最后，教師可引導學生總結(jié)規(guī)律，進而加以推廣應用。例如求2+3+4+5+…+=？2+4+6+8+……+2=？等等。筆者根據(jù)近年來有關(guān)數(shù)學課題探究教學的研究，就以下三個環(huán)節(jié)的具體實施做進一步探討。（一）教師示范指導、誘導在這一環(huán)節(jié)里，教師的主導作用非常重要。關(guān)于探究課題的提出，教師要根據(jù)教學內(nèi)容，一般可從學生已有的知識中引出所要探究的課題。例如，在證明梯形中位線定理時，先提出：梯形中位線定理與三角形中位線定理有何異同？進而提出如何把兩者結(jié)合起來的課題。然后教師引導學生根據(jù)學過的有關(guān)幾何知識，對問題進行假設、猜想，并展開討論，設計出作各種輔助線的方案。接著學生在教師的指導下，分組獨立進行驗證、證明。最后，學生獲得新的概念、定律及證明的思想、方法，從而解決數(shù)學問題。在整個環(huán)節(jié)中，教師要充分調(diào)動學生的積極性，有意識地激發(fā)其興趣。心理學研究表明，興趣是促進學生主動學習的內(nèi)部動力，學生只有對所探究的課題產(chǎn)生濃厚的興趣，才能想學、樂學、善學。當然，探究教學過程不一定嚴格按照上述步驟進行，可針對具體問題具體分析，靈活運用。數(shù)學課題探究教學中，通過一次探究性教學，可以使學生深入地理解一些重要的原理，掌握一些重要的數(shù)學思維方法。這些突破點是引導學生進入科學殿堂的指示燈。例如，可把研究一所學校學生的身高作為一個課題，從中引出統(tǒng)計學中的平均數(shù)、方差以及分組、樣本估計等基本概念與規(guī)律及其應用。（二）學生探究，注重思維發(fā)展在上一個環(huán)節(jié)中，學生會感到他和教師一樣都在進行課題探究，于是就會以主人翁的態(tài)度積極地、主動地并有極大可能從各種角度去審視、參與教學活動。在這種情形下，學生就會圍繞問題積極思考，于是學生的思維過程自由展示的機會就增多了。教師可根據(jù)學生思維中的漏洞、偏差，不失時機地加以點撥，同時引導其他學生共同探討，使他們處于積極的思考狀態(tài)中，獨立地觀察、分析、類比、聯(lián)想、辨析、歸納等，以便最大限度地發(fā)揮學生自身的創(chuàng)造潛能。（三）“師生共探”，學會反思與感悟這一環(huán)節(jié)中，學生對問題已基本明了，但他們會或多或少存在一些困惑。因此教師應適時引導學生進行反思與感悟，以便加深對該課題的認識，從而促進遷移。教育是哲學，是藝術(shù)，是詩篇，是思想與思想的碰撞，是心靈與心靈的交流，是生命與生命的對話。［5］因此，教師需要本著和學生共同研討的精神，調(diào)動并發(fā)揮學生在探究教學中的主動性。通過優(yōu)化“教學互動”的方式，通過調(diào)節(jié)師生關(guān)系及其相互作用，形成和諧的師生互動、生生互動、學習個體與教學中介的互動，強化學生與環(huán)境的交互影響，產(chǎn)生教、學協(xié)同與共振，從而切實提高教學效率。［6］五、數(shù)學課題探究教學應注意的幾個問題為了使數(shù)學課題探究教學更加有效，教師首先需要更新教育觀，即數(shù)學觀、數(shù)學教育觀和數(shù)學教學觀。在數(shù)學觀方面，要用動態(tài)的觀點認識數(shù)學。正如《人人關(guān)心數(shù)學教育的未來》中指出的：“數(shù)學是一門有待探索的、動態(tài)的、進化的思維訓練，而不是僵化的、絕對的、封閉的規(guī)則體系，數(shù)學是一種科學，而不是一堆原則；數(shù)學是關(guān)于模式的科學，而不僅僅是關(guān)于數(shù)的科學?！痹跀?shù)學教育觀方面，數(shù)學教育不僅是為了學數(shù)學知識，還在于根據(jù)本學科的特點使人們用數(shù)學的知識、方法，去認識自然、社會，最終達到培養(yǎng)人，發(fā)展人，從而促進整個人類發(fā)展的目的。在數(shù)學教學觀方面，為了改進學生的學習，面向大眾，教師在課堂教學的組織形式、課堂練習的水平，尤其在課堂提問的技巧和師生互動等方面，應多做些研究。此外，教師還要有意識地引導學生，培養(yǎng)與發(fā)展其懷疑、猜測和實踐的意識和能力，因為疑是創(chuàng)新的起始點，猜測和想象是創(chuàng)新的突破點，行是創(chuàng)新的立足點。在數(shù)學課題探究教學時應注意以下幾個問題。（一）倡導懷疑懷疑是創(chuàng)新的心理動力，是思維獨立性、批判性的體現(xiàn)。數(shù)學家笛卡兒說“懷疑是方法”。比如，在柯西那個時代，幾乎所有數(shù)學家都相信，凡是連續(xù)函數(shù)一定可微（當然要除去像y=1x中的x=0那樣的孤立點），可是后來有一些數(shù)學家，如德國的外爾斯特拉斯就不以為然。他專門構(gòu)造了一個處處連續(xù)又處處不可微的函數(shù)，于是否定了前人的傳統(tǒng)認識。因此，在數(shù)學教學中，教師要大力倡導學生對書本、對以往的結(jié)論敢于懷疑的精神，勇于提出自己的觀點。（二）鼓勵猜測和想象數(shù)學中的猜測是根據(jù)已知數(shù)學條件和數(shù)學原理對未知的量及其關(guān)系的似真判斷。這種猜測富于創(chuàng)造性，能夠提供大量新觀點、新思維、新方法。正如數(shù)學家徐利治先生在《數(shù)學方法論選講》中指出的：“數(shù)學創(chuàng)造往往開始于不嚴格的發(fā)散思維，而繼之以嚴格的邏輯分析思維，即收斂性思維。”［7］想象是創(chuàng)造的源泉，在某種程度上，沒有想象就沒有科學發(fā)現(xiàn)。愛因斯坦認為：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉?！盵8]（三）引導行動“千里之行，始于足下。”有了好的課題與猜想，就要立即行動起來，搜索有關(guān)信息，扎扎實實地進行探究活動。當然，這需要學生有一定的知識儲備，較強的學習動機，否則，只能是一句空話。因此，教師要引導學生不輕易放過某個看似荒誕、離奇的想法，引導學生積極探究，舉一反三。授之以魚，不如授之以漁，教是為了不教，數(shù)學課題探究教學可以很好地培養(yǎng)學生優(yōu)良的思維品質(zhì)，教會他們怎樣思維。總之，課題探究教學為學生提供了一個自我發(fā)現(xiàn)、自主學習的機會，與傳統(tǒng)的教學形式相比，它有更為鮮明的特點，值得我們?nèi)パ芯亢吞剿?。參考文獻：［1］中華人民共和國教育部.基礎教育課程改革綱要（試行）［S］.2001.［2］張華，石偉平，馬慶發(fā).課程流派研究［M］.濟南：山東教育出版社，2000.134.［3］李森，于澤元.對探究教學幾個理論問題的認識［J］.教育研究，2002，（2）：83—88.［4］張慶林.當代認知心理學在教學中的應用：如何教會學生學習和思維［M］.重慶：西南師范大學出版社，1995:67—68.［5］袁振國.教育新理念［M］.北京：教育科學出版社，2002.179.［6］查有梁.“交流—互動”教學模式建構(gòu)［J］.課程·教材·教法，2001，21（4）：1—6.［7］徐利治.數(shù)學方法論選講［M］.武漢：華中工學院出版社，1988.182.［8］愛因斯坦文集［M］.許良英，范岱年，編譯.北京：商務印書館，1976.284.