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分類(lèi)討論的思想方法范文第1篇

關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論思想；一次函數(shù)；應(yīng)用

當(dāng)前，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法多種多樣。一個(gè)好的數(shù)學(xué)思想能輕松的解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，一種好的數(shù)學(xué)思想方法能便捷的使我們學(xué)習(xí)理解一個(gè)數(shù)學(xué)思想。本篇論文主要論述分類(lèi)討論思想和一次函數(shù)及分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用。目前國(guó)內(nèi)外論述分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用的論文不勝枚舉，大多都是從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像、實(shí)際應(yīng)用和解題需求這五個(gè)方面分類(lèi)。首先，分類(lèi)討論思想是基本數(shù)學(xué)思想方法之一。它是一種解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的邏輯方法。合理地使用分類(lèi)討論思想，我們可以使繁瑣的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使解決問(wèn)題的思路更有條理。分類(lèi)討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)際就是“化整為零，各個(gè)擊破”的教學(xué)策略。這也是為什么教材每個(gè)章節(jié)需要分各個(gè)小節(jié)。同時(shí)，分類(lèi)討論思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生的邏輯性、條理性、概括性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和邏輯的數(shù)學(xué)思維有重要意義。使學(xué)生掌握分類(lèi)討論的思想方法有助于提高學(xué)生解題能力和分析問(wèn)題的效績(jī)。其次，一次函數(shù)是重要的幾類(lèi)函數(shù)之一，合理的利用好一次函數(shù)可以便捷的解決生產(chǎn)和生活中的諸多問(wèn)題。近年來(lái)的考綱都有應(yīng)用書(shū)本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的考點(diǎn)，諸如成本最小化、經(jīng)濟(jì)效益最大化、方案最優(yōu)化等等。可見(jiàn)掌握函數(shù)思想的重要性，因此學(xué)生應(yīng)該學(xué)好一次函數(shù)。最后，學(xué)習(xí)一次函數(shù)常用到分類(lèi)討論的思想方法。分類(lèi)討論思想應(yīng)用到一次函數(shù)中使教學(xué)思路更有條理，教學(xué)方案更清晰明了。

一、淺談分類(lèi)討論思想

（一）分類(lèi)討論思想的起源

大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的兩大源頭分別是中國(guó)的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學(xué)者的研究發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)出現(xiàn)了很多種。分類(lèi)討論思想方法就是眾多的基本數(shù)學(xué)思想方法之一。

分類(lèi)現(xiàn)象自古就存在。遠(yuǎn)古時(shí)期，人們收集到的食物會(huì)分類(lèi)保存。能長(zhǎng)時(shí)間保存的和不能長(zhǎng)時(shí)間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養(yǎng)和不能圈養(yǎng)的動(dòng)物。一個(gè)狩獵團(tuán)體根據(jù)體質(zhì)差異也有分工，行動(dòng)敏捷的成員負(fù)責(zé)吸引獵物的注意力，身體壯實(shí)的負(fù)責(zé)對(duì)獵物造成傷害，臂力大的負(fù)責(zé)投擲標(biāo)槍等等?，F(xiàn)在分類(lèi)現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，各種各樣的職業(yè)共同推動(dòng)社會(huì)發(fā)展，大小不一的零件使機(jī)器正常運(yùn)行。正是因?yàn)榉诸?lèi)思想，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯(cuò)與混亂現(xiàn)象。分類(lèi)思想是古老文明的基本思想。

司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場(chǎng)次序換位以下等馬對(duì)齊王的上等馬，以上等馬對(duì)齊王的中等馬，以中等馬對(duì)齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據(jù)對(duì)方的馬出場(chǎng)次序而相應(yīng)的對(duì)自己的馬出場(chǎng)次序作出調(diào)整的思想方法就是分類(lèi)討論思想。正是因?yàn)檫@一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過(guò)這個(gè)事例我們知道分類(lèi)討論思想的重要性，分類(lèi)討論思想其實(shí)與我們的生活息息相關(guān)。

現(xiàn)在已經(jīng)有很多的學(xué)者專(zhuān)家都有總結(jié)分類(lèi)思想的含義，在《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》的第253頁(yè)指出：“分類(lèi)是基本的邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類(lèi)是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。分類(lèi)以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象歸并為較大的類(lèi)，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類(lèi)，從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級(jí)系統(tǒng)。”

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，分類(lèi)討論思想方法逐漸演化成數(shù)學(xué)思想方法的主要思想方法之一。同時(shí)，也正使得數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科使得分類(lèi)思想方法更加地深化與細(xì)化。如今，分類(lèi)討論思想方法已經(jīng)是中高考試中的常考點(diǎn)。

（二）分類(lèi)討論思想的概念界定

我們先了解分類(lèi)討論思想的漢語(yǔ)釋義?！胺诸?lèi)”一詞在辭海中的釋義為根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類(lèi)。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問(wèn)題進(jìn)行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動(dòng)的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識(shí)。從分類(lèi)討論思想的漢語(yǔ)釋義可以知道分類(lèi)討論思想先分別歸類(lèi)再逐一商量討論。

分類(lèi)思想和分類(lèi)討論有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？按從屬關(guān)系劃分，分類(lèi)討論是一個(gè)種概念，分類(lèi)思想是一個(gè)屬概念。分類(lèi)思想并不專(zhuān)屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是人們?cè)缙谡J(rèn)識(shí)世界面貌、改善生活條件的一種思維形態(tài)，即把復(fù)雜的事物依據(jù)其種類(lèi)、性質(zhì)或品級(jí)進(jìn)行劃分或歸類(lèi)。分類(lèi)討論是分類(lèi)思想實(shí)際應(yīng)用的一種具體形式，它要求把事物進(jìn)行劃分歸類(lèi)，把分類(lèi)的若干個(gè)種類(lèi)進(jìn)行逐一的研究討論，最后把分類(lèi)的若干討論結(jié)果歸納總結(jié)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)者對(duì)于分類(lèi)討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對(duì)于分類(lèi)討論思想方法的概念幾乎不存在爭(zhēng)議。顧泠沅教授所著的《數(shù)學(xué)思想方法》有提到分類(lèi)討論這一思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)化整為零、集零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題是比較繁瑣復(fù)雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）分類(lèi)討論思想的分類(lèi)原則與方法

分類(lèi)討論思想的分類(lèi)原則：（1）所要分類(lèi)的對(duì)象必須是確定的（2）分類(lèi)出的各級(jí)內(nèi)容必須是完整的，不能犯遺漏某一級(jí)這種錯(cuò)誤（3）應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)（4）各個(gè)集域應(yīng)當(dāng)是互斥的，不出現(xiàn)重復(fù)的集域（5）分類(lèi)必須逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)分類(lèi)。分類(lèi)討論思想的分類(lèi)方法：明確分類(lèi)討論的對(duì)象，確定對(duì)象的所有內(nèi)容，明_分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，將對(duì)象正確進(jìn)行分類(lèi)；逐級(jí)進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合結(jié)論。

三、分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用

分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像與實(shí)際應(yīng)用這幾個(gè)方面。

（一）分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)概念方面的應(yīng)用

如何來(lái)辨別一個(gè)函數(shù)關(guān)系是不是一次函數(shù)？前面已經(jīng)給出了一次函數(shù)的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear function）.當(dāng)y=kx+b中的k是變量或者x的指數(shù)是變量時(shí)，該變量取不同的值會(huì)有不同的結(jié)果，因此就需要是用分類(lèi)討論的思想方法逐一討論。

那么我們來(lái)看這道例題：

例4 已知函數(shù)y=（m-5）x2m-1+3x-1，當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)？

分析：根據(jù)函數(shù)概念，本題應(yīng)該分為三種情況討論：當(dāng)m-5=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=1時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)。綜上所述，m=5或1或 。

（二）分類(lèi)討論思想在一次函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用

我們已經(jīng)知道一次函數(shù)具有單調(diào)增減性，一次函數(shù)的增減性在生活中經(jīng)常用到。一次函數(shù)要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類(lèi)討論思想。

例5 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)2≤ x ≤ 4時(shí)，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此題中一次函數(shù)的單調(diào)性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：

當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，即當(dāng)x=5時(shí)，y=10，當(dāng)x=4時(shí)，y=14，因此k=2， b=6

故=3，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時(shí)，即當(dāng)x=2時(shí)，y=14，當(dāng)x=4時(shí)，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分類(lèi)討論在一次函數(shù)圖像位置方面的應(yīng)用

如果一次函數(shù)y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確，因此很多時(shí)候需要用到分類(lèi)討論思想來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。

例6 已知正比例函數(shù)y=x和一次函數(shù)y=kx+2的函數(shù)圖像與x軸圍成了一個(gè)面積為1的三角形，求一次函數(shù)的解析式。

分析：此題中一次函數(shù)的斜率并不明確，因此函數(shù)圖像的位置需要分為兩類(lèi)。因?yàn)橐呀?jīng)知道兩個(gè)函數(shù)圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2）根據(jù)斜率將一次函數(shù)分為遞增和遞減兩類(lèi)：當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A（-1，0），一次函數(shù)解析式為y=2x+2；當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)E（2，0），一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。所以總結(jié)兩類(lèi)討論，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。

（四）分類(lèi)討論在一次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題方面的應(yīng)用

一次函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中已經(jīng)是常考點(diǎn)，這使數(shù)學(xué)更貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類(lèi)討論思想。

例7 小明準(zhǔn)備換電話(huà)卡，現(xiàn)在他已經(jīng)了解了兩種電話(huà)卡的套餐。A卡套餐為每月通話(huà)不超過(guò)100分鐘，則按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話(huà)大于100分鐘則超出時(shí)長(zhǎng)按每分鐘0.16元收費(fèi)；B卡套餐為每月通話(huà)不超過(guò)200分鐘按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話(huà)超過(guò)200分鐘超出時(shí)長(zhǎng)則按每分鐘0.12元收費(fèi)。如果小明每月通話(huà) 分鐘，請(qǐng)問(wèn)他該如何選擇套餐最劃算？

分析：此題尚不明確小明每月通話(huà)時(shí)長(zhǎng)，因此需要分三種情況討論：

當(dāng)0≤ x ≤ 100時(shí)，顯然兩種卡消費(fèi)一樣。

當(dāng)100≤ x ≤ 200時(shí)，A卡有優(yōu)惠，B卡無(wú)優(yōu)惠，因此選擇A卡。

當(dāng)x>200時(shí)，設(shè)A、B兩卡消費(fèi)分別為y1、y2。A卡消費(fèi)為y1=0.16x+20，B卡消費(fèi)為y2=0.12x+40，當(dāng)y1=y2時(shí)，x=500因此又需要分三種情況討論：當(dāng)x=500時(shí)，A、B兩卡消費(fèi)一樣，當(dāng)200500時(shí)，y1>y2選B卡更劃算。

分類(lèi)討論思想這是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。學(xué)生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問(wèn)題。一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它對(duì)于解決實(shí)際生活生產(chǎn)需要有重要意義。教師在教學(xué)一次函數(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)科學(xué)的選取適當(dāng)?shù)慕蘔方法，務(wù)必是學(xué)生理解掌握一次函數(shù)，并將其遷移到實(shí)際問(wèn)題中去。

參考文獻(xiàn)：

[1]司馬遷，史記，北京聯(lián)合出版社，2016.

[2]王鴻鈞，孫宏安，數(shù)學(xué)思想方法引論，人民教育出版社，1992.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2011.

[3]數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)，人民教育出版社，2013.

[4]顧泠沅，數(shù)學(xué)思想方法，中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[5]潘興偉，初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，分類(lèi)思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，2015.

[6]姬梁飛，科教文匯，論分類(lèi)討論思想方法，2017.

分類(lèi)討論的思想方法范文第2篇

一、符號(hào)表述與換元的思想王鵬方法

符號(hào)表述是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要特色，它能使數(shù)學(xué)思維過(guò)程更加概括、簡(jiǎn)明.一句復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言在用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表述時(shí)，讓人一看就明白.如“甲乙兩數(shù)和的三倍與它們差的兩倍的差”可簡(jiǎn)單記為“3（x+y）-2（x-y）”，可見(jiàn)符號(hào)表述反映了數(shù)學(xué)思維的概括性和簡(jiǎn)潔性.初一學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)剛剛從數(shù)過(guò)渡到式，用字母代替數(shù)的過(guò)程是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化過(guò)程.列代數(shù)式、求代數(shù)式的值是換元思想方法的初始時(shí)期，由此開(kāi)始，換元的思想方法便貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如在方程、方程組、不等式教學(xué)中，都可強(qiáng)化對(duì)“元”的認(rèn)識(shí)，滲透換元的思想方法.

二、化歸的思想方法

化歸，就是把問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或者比較容易解決問(wèn)題的思想方法.這種方法的關(guān)鍵在于尋找待求問(wèn)題與已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系.中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為己知，化高次為低次等，它是解決問(wèn)題的一種最基本的思想.在具體內(nèi)容上，有加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開(kāi)方的轉(zhuǎn)化，以及添加輔助線(xiàn)等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段.因此，在教學(xué)中首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的.其次要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價(jià)值的思想方法.在具體教學(xué)過(guò)程中設(shè)出問(wèn)題讓學(xué)生去觀察，探索轉(zhuǎn)化的路子.例如在求解分式方程時(shí)，運(yùn)用化歸的方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時(shí)的“消元”，解一元二次方程時(shí)的“降次”都是化歸的具體體現(xiàn).

三、數(shù)形結(jié)合的思想方法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛……”.數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問(wèn)題，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，提供解決問(wèn)題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

1.用“數(shù)”解“形”，利用數(shù)解決圖形的問(wèn)題

利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，常用代數(shù)知識(shí)去解決圖形問(wèn)題.這時(shí)，應(yīng)利用代數(shù)知識(shí)的運(yùn)算法則或固定的數(shù)量關(guān)系圖分析圖形中的量，找到各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而明確圖形特征.對(duì)相反數(shù)、絕對(duì)值的概念、有理數(shù)的大小比較、函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，很大程度上減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的難度，更加便于對(duì)知識(shí)的理解.

2.以“形”示“數(shù)”，用形解決數(shù)的問(wèn)題

對(duì)于一些較抽象的代數(shù)問(wèn)題，我們常利用已知信息去構(gòu)造與之相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形特征來(lái)找到代數(shù)問(wèn)題的答案.

例如若m，n（m

分析本題從方程的角度求解，難度較大，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1=1和y2=（x-a）（x-b）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即：利用函數(shù)圖象求解方程組.

解函數(shù)圖象如圖1.

所以，m，n，a，b 的大小關(guān)系是 m

3.“數(shù)”“形”結(jié)合

“數(shù)”“形”結(jié)合是指在一些問(wèn)題中不僅僅只是以“數(shù)”解“形”，或以“形”示“數(shù)”，而是需要“數(shù)”“形”互變，既要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到直觀的“形”，還要由直觀的“形”聯(lián)系到“數(shù)”的嚴(yán)密，這類(lèi)問(wèn)題在解決過(guò)程中常需要同時(shí)從已知和未知條件入手，分析其中的聯(lián)系，找到“數(shù)”“形”的內(nèi)在聯(lián)系，這方面的運(yùn)用在解析幾何中較常見(jiàn).例如：如在學(xué)習(xí)完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時(shí)，我們可構(gòu)造出他們的直觀模型，通過(guò)“數(shù)”與“式”之間的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證、理解，從而讓學(xué)生掌握公式.因此數(shù)形結(jié)合能夠更直觀、更形象地實(shí)現(xiàn)已知與未知之間的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)解題的技巧性.

四、類(lèi)比的思想方法

類(lèi)比是最有創(chuàng)造性的一種思想方法，它是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象之間有部分屬性相同，從而推出它們的某種屬性也相同的推理形式.類(lèi)比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法.例如，分式基本性質(zhì)的引入是通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)通分、約分的根據(jù)――分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，再用類(lèi)比的方法得出分式的基本性質(zhì).

五、分類(lèi)的思想方法

中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)部分和幾何部分兩大類(lèi)，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類(lèi)思想的體現(xiàn)；從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類(lèi)，式的分類(lèi)，三角形的分類(lèi)，方程的分類(lèi)，函數(shù)的分類(lèi)等等，也是分類(lèi)思想的具體體現(xiàn).對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對(duì)性，在教學(xué)需要時(shí)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，幫助他們掌握好分類(lèi)的方法原則，形成分類(lèi)的思想.在初中數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論的問(wèn)題主要表現(xiàn)三個(gè)方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類(lèi)問(wèn)題需要分類(lèi)討論，如幾何中三角形的分類(lèi)、四邊形的分類(lèi)、角的分類(lèi)、圓周角定理等的證明，都涉及到分類(lèi)討論.（2）解含字母系數(shù)或絕對(duì)值符號(hào)的方程、不等式，討論算術(shù)根，正比例和反比例函數(shù)中的比例系數(shù)，二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a與圖象的開(kāi)口方向等，由于這些系數(shù)的取值不同或要去掉絕對(duì)值符號(hào)就有不同的結(jié)果，這類(lèi)問(wèn)題需要分類(lèi)討論.（3）有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然結(jié)論唯一，但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同，這類(lèi)問(wèn)題也要分類(lèi)討論.分類(lèi)時(shí)要注意①標(biāo)準(zhǔn)相同；②不重不漏；③分類(lèi)討論應(yīng)當(dāng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí).

分類(lèi)討論的思想方法范文第3篇

中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法有：函數(shù)與方程的思想方法、分類(lèi)討論的思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、函數(shù)與方程的思想方法

1、函數(shù)與方程思想方法的含義

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想。

（1）函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。

（2）方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。

（3）函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的。對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y- f（x）=0。方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

二、函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用

1、用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題。

（3）公比q為參數(shù)的等比數(shù)列前n項(xiàng)和及求極限問(wèn)題。

（4）解析幾何中含參數(shù)的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程問(wèn)題。

如：對(duì)軌跡方程中參數(shù)a 的討論，確定曲線(xiàn)的類(lèi)型。對(duì)直線(xiàn)的斜率分存在和不存在進(jìn)行討論。

（5）在立體幾何中，根據(jù)直線(xiàn)和平面所成角的概念，根據(jù)線(xiàn)與線(xiàn)，線(xiàn)與面，面與面的位置關(guān)系分類(lèi)討論。

如：在同一平面的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系分平行或相交進(jìn)行討論。

（6）排列組合應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)加法原理分類(lèi)計(jì)算。

注意區(qū)分“分類(lèi)”與“分段”的區(qū)別：分類(lèi)是解決兩個(gè)對(duì)象的方法，結(jié)果對(duì)于每一類(lèi)情況都要給出問(wèn)題的結(jié)論；分段是解決一個(gè)對(duì)象的方法，結(jié)果對(duì)于每種情況的結(jié)論要合并。

三、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法

分類(lèi)討論的思想方法范文第4篇

一、應(yīng)用實(shí)例講解數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與掌握必須由聽(tīng)講、練習(xí)、復(fù)習(xí)等過(guò)程鞏固，數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過(guò)反復(fù)的練習(xí)才能讓學(xué)生真正領(lǐng)悟。通過(guò)反復(fù)的練習(xí)、逐步完善才能讓學(xué)生形成利用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)，構(gòu)建自我數(shù)學(xué)思想方法解題系統(tǒng)。函數(shù)章節(jié)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，開(kāi)展函數(shù)教學(xué)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合思維方法，有利于學(xué)生依據(jù)已知條件，分析、討論對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，幫助學(xué)生建構(gòu)整體的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)獲得的成就感。

解析：這是一道較為典型的函數(shù)例題，老師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的要求傳授學(xué)生解題的方法，也可以依據(jù)這一道例題對(duì)其它相關(guān)例題的解題方法進(jìn)行概括性的講授，確保學(xué)生遇到這類(lèi)題目可以快速、準(zhǔn)確的找出解題方法。

本例題構(gòu)造出奇函數(shù)g（x），再借助奇函數(shù)定義解題非常容易。這道例題也展現(xiàn)出構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，實(shí)際解題時(shí)，我們一般會(huì)構(gòu)造一個(gè)比較熟悉的模式，從而將不熟悉的轉(zhuǎn)化為所熟悉的問(wèn)題進(jìn)行思考、解答。例如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用輔助角公式構(gòu)造一角一函數(shù)已有的模式。由此可知，構(gòu)造法有助于學(xué)生多方位的思考問(wèn)題，對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度具有重要意義。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題中比較常見(jiàn)的思想方法，運(yùn)用這種方法可將部分抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成可直觀的內(nèi)容，促使問(wèn)題求解的問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔。

解析：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，主要包括“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”這兩方面的內(nèi)容，求解幾何問(wèn)題也是研究數(shù)形結(jié)合的重要手段。同時(shí)，在求解方程解的個(gè)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中也能應(yīng)用。以形助數(shù)和以數(shù)輔形可以讓繁雜的問(wèn)題變得更加直觀、形象，提升數(shù)學(xué)問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。因此，對(duì)部分抽象的函數(shù)題目，數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得解題思路峰回路轉(zhuǎn)，變得清晰、簡(jiǎn)單。

三、應(yīng)用分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想就是依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)與不通電，把豎向?qū)ο髣澐殖啥鄠€(gè)種類(lèi)實(shí)施求解的一種數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)教學(xué)中使用分類(lèi)思想方法，有利于學(xué)生形成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。解決數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法從整體角度入手解決問(wèn)題，可以從局部層面解決多個(gè)子問(wèn)題，從而有效解決整體的問(wèn)題。

分類(lèi)討論就是對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題，但所給出的對(duì)象不能展開(kāi)統(tǒng)一研究時(shí)，必須依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的特點(diǎn)，把問(wèn)題對(duì)象劃分為多個(gè)類(lèi)別，隨之逐類(lèi)展開(kāi)談?wù)摵脱芯浚瑥亩行Ы鉀Q問(wèn)題。對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、定理、公式的限制展開(kāi)分類(lèi)討論，問(wèn)題內(nèi)的變量或包含需要討論的參數(shù)時(shí)，必須實(shí)施分類(lèi)討論。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須循序漸進(jìn)的滲透分類(lèi)思想，在潛移默化的情況下提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。

解析：本例題解法可以根據(jù)函數(shù)圖象，借助偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行解決，也可以根據(jù)兩個(gè)變量所處的區(qū)間，展現(xiàn)出分類(lèi)討論的思想。對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)和整合時(shí)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)與增設(shè)的已知條件相等，完成有效的增設(shè)，把大問(wèn)題轉(zhuǎn)換成小問(wèn)題，優(yōu)化解題思路，降低解決問(wèn)題的難度。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)是整個(gè)數(shù)學(xué)教育的重要部分，對(duì)其日后學(xué)習(xí)高等函數(shù)發(fā)揮著重要作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)涵蓋多種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的鑰匙和重要工具，因此，數(shù)學(xué)老師必須對(duì)函數(shù)實(shí)施合理的教學(xué)，讓學(xué)生更全面的掌握數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的綜合思維能力。

參考文獻(xiàn)：

分類(lèi)討論的思想方法范文第5篇

其中分類(lèi)討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。分類(lèi)是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，提高學(xué)生全面、周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的素質(zhì)和能力起到十分關(guān)鍵的作用，故“分類(lèi)討論”思想在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位。但初中學(xué)生常常分類(lèi)討論的意識(shí)不強(qiáng)，不知道哪些問(wèn)題需要分類(lèi)及如何合理的分類(lèi)。這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情景，予于強(qiáng)化，需要區(qū)分種種情況進(jìn)行討論的問(wèn)題，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類(lèi)討論思想的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用分類(lèi)討論的意識(shí)。

分類(lèi)討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1.對(duì)問(wèn)題中的某些條件進(jìn)行分類(lèi)，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)。

2.分類(lèi)要完整：不重復(fù)，不遺漏。

3.有時(shí)分類(lèi)并不是一次完成，還須進(jìn)行逐級(jí)分類(lèi)，對(duì)于不同級(jí)的分類(lèi)，其分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一。

而在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中我們常在以下情況中應(yīng)用分類(lèi)討論思想：

一、在概念教學(xué)中滲透分類(lèi)討論意識(shí)和原則

分類(lèi)討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，由于數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類(lèi)給出的或是不少概念都有一定的限制，如實(shí)數(shù)的分類(lèi)：

例：比較a與-a的大小。

分析：易得a〉-a 的錯(cuò)誤，導(dǎo)致錯(cuò)誤在于沒(méi)有注意到數(shù)a可表示不同類(lèi)型的數(shù)。應(yīng)分a〉0，a= 0，a

又例：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的定義時(shí)，要有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類(lèi)進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括出a>0，a=0，a

二、在法則、定理、公式導(dǎo)出過(guò)程中體現(xiàn)分類(lèi)討論思想

有些數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式或定理在不同條件下有不同的結(jié)論，或是結(jié)論在一定限制條件下才成立，這就要在教學(xué)的過(guò)程中逐步體現(xiàn)分類(lèi)討論思想。

例：方程kx2-2x+5=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？

學(xué)生往往不注意k對(duì)方程性質(zhì)的影響，討論或講評(píng)中，使學(xué)生明確系數(shù)k決定方程的次數(shù)，從而分k=0，k≠0兩類(lèi)討論。當(dāng)k≠0時(shí)，再分>0，=0，

例：解關(guān)于x的不等式：ax+3>x+a

分析通過(guò)移項(xiàng)不等式化為（a-1）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-1>0，a-1=0，和a-1

當(dāng)a-1>0，即a>1時(shí)，不等式的解是x>a-3>/a-1；

當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，不等式的左邊=0，此時(shí)不等式不成立；

當(dāng)a-1

又例：二次函數(shù)y=kx+b的圖像過(guò)哪幾個(gè)象限？

這道題勢(shì)必要考慮圖像的變化趨勢(shì)，又要考慮圖像與y軸交點(diǎn)的位置。要對(duì)字母k和b進(jìn)行分類(lèi)討論。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評(píng)價(jià)，逐步完善。

三、在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類(lèi)討論

例如：若等腰三角形一腰上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。

簡(jiǎn)析：已知條件并沒(méi)有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，可得或解得或即當(dāng)腰長(zhǎng)是6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是5cm。

又例如：已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有多少個(gè)？